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【搬運計畫：積分前篇｜重點十一：四大積分基本方法之三：分部積分法｜精選範例 11-6｜張旭微積分】
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本影片運用分部積分法計算 cosx 高次的積分公式，這個題目跟上一個例題類似，主要是透過類題的練習習慣高次三角函數的積分問題
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【搬運計畫：分前篇｜重點十一：四大積分基本方法之三：分部積分法｜精選範例 11-5｜張旭微積分】
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本影片運用分部積分法計算 secx 高次的積分公式，若學校有教高次倍角三角函數積分 (看積分後篇重點一) 的話，這個積分可以看一下
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1, 自信
2. 信任
3. 無私老師的教育
4. 實踐
5. 興趣
6. 師生間平等
7. 研究的真諦
8. 教育的真諦
9. 珍貴的領導力：支持。
10. 每件事不只有一個角度看問題
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【留學帶給我的十件禮物】
我11歲時就去美國接受教育，美式教育在我的成長經驗中扮演了不可或缺的腳色。如果我沒有留學，也許不會得到那麼多，也許不會成就現在的我。這邊整理了10件禮物跟大家分享。
當還沒有小留學生這個詞的時候我就去留學，我是1972年首先踏入了美國的土地。很多人問我什麼時候去留學，我就說1972年，他們說啊，你看起來有那麼老嗎？實際上我是11歲的時候就去了。當然，也有很多人問我，如果你不去美國，還會得到一樣的成功嗎？美國在你的成長歷程中，留學的經歷對你有什麼樣的幫助、有什麼感觸？
我當時是去美國的田納西州，是在一個天主教的學校，是去讀初中。整個城市沒有幾個中國人，整個學校只有我一個中國人，很多人在那個時候甚至沒有在真正的生活裡看過東方人面孔，但是他們對我伸出雙手歡迎，我得到的第一件最重要的禮物就是自信。
因為我發現，美國的教育方式和台灣有著巨大的差異。我從小在臺灣長大，老師總是用懲罰的方式告訴我們這個做得不好，要怎麼懲罰，如果這個達不到誰又對你失望，總是用威脅、懲罰、失望等等的方式來希望我們能做得更好。我第一次看到美國這樣一個環境，它完全沒有這種負面的方式，而是用正面的教育，讓我能夠建立自己的自信。美國的教育認為每一個人都有他特別強的地方，所以它的教育方式就是鼓勵你在你的強項發揮得好的時候，給你足夠的鼓勵，讓你能夠得到一種自信。這不僅僅是對這一件事情的自信，而是對自己的自信，對未來的自信。
而我的自信來自於，其實是件蠻可笑的事情：我記得有一次老師出了很多題目，在黑板上寫了1/7，說你們誰能夠換算出來？題目剛寫完我就舉手了，他說李開復這是什麼，雖然我當時的英文不是很好，我還是很快地回答了，0.142857。他說哎呀，數學天才。其實在臺灣的大家都知道，這是課堂上死背的東西，我可不是什麼數學天才。但當時他一誇，我就想也許我真的是數學天才。從此之後我就對數學產生了濃厚的興趣，代表學校參加考試、參加全州的比賽等等類似於奧數這種比賽，都非常踴躍地參加，認為我一定是一個數學天才。
當然後來我發現，其實我不是數學天才，當我進了哥倫比亞大學的時候，我覺得我是田納西州的州立冠軍，一定是一個了不起的數學天才，他們就把我分到天才班，拿到一個最後一名。很有趣的是老師當時說：「開復，你是最後一名」，我說「完蛋了，最後一名怎麼辦？」，但他給了我一個A-，我說「啊！？最後一名還有A-。」，他說：「數學雖然是最後一名，但還是很厲害，一定要給一個A-」。我終於發現我不是天才，但是老師給了我自信，讓我覺得自己有能力，就會努力地工作，就會做得很好，這是我的自信，是第一件得到的禮物。
第二件得到的禮物是信任，當時強項數學是給自信，弱的科目像是化學、歷史我根本沒有學過、沒有讀完，勉強去考，但是發現很多生詞不認識怎麼辦，當時我很清楚地記得我的歷史老師跟我說，開復，我知道你今天做不完今天的考題，你拿回家做，你可以用字典，你可以花所有你需要花的時間，3、5個小時都沒關係，但是我相信你不會翻開教科書。當時，我是一個11、12歲的小孩，老師明知道你的書籍在旁邊，還說讓你慢慢做，也相信我不會翻開我的教科書，其實這是對我的一種誠信和對別人的信任，所以一定要珍惜別人對你的信任，這對當時的我也是非常重要的。
第三個我得到的禮物就是一種無私的老師的教育。我這裡有兩個例子，第一個例子是我剛開始去讀初一的時候，上課我根本一個字都聽不懂，但當時我們的校長發現了這個情況以後，他就說每天中午你把午餐拿到我的辦公室來，我們一邊吃午餐，我一邊從小學一年級的英文課本教你。我記得當時打開第一頁，從簡單的字一個一個教我，一個學校的校長每天願意花中午的時間無私教我，一直到我上路。
我還記得第二件事，我一直以為自己是一個數學天才，差不多在十年級的時候把高中所有的課都念完了，我當時高中的老師跟我說，你接著應該讀大學的課程。我說可是開車要30分鐘，我現在還不能開車，老師說沒關係，我教這個課，每天我到你家接你，這個老師每次上課，每個星期三次，就來我家接我，讓我在我的11、12年級能夠修到兩門大學的數學微積分。所以，老師的態度也讓我非常非常的感動。
第四件我在高中學到的事情是實踐。今天很多教育更多都是去背書本上的東西，背死書。但是我非常相信那句話，看過的你會忘記，聽過的你會記得，但是做過的你才真正的理解。所以，當時我非常感觸的是每一堂課都有那麼多實踐的項目，不會只教你一個指數是怎麼回事，會教你為什麼要學指數，如果你賺100元，每年10%的利率，10年之後你不只會有200元，會有更多錢，因為利息會升，這是指數的概念，會用真實的例子，如果你以後真的有超過200元，就會努力地學這個題目。
另外一個實踐是我在高中參加了一個創業活動，辦的方法不太一樣，當時老師就說你們一群人創一個公司，要選誰是領導者，決定做什麼產品，大家一起來合作，把產品推銷出去，讓家長出錢資助我們，當股東，資助不是白拿的，到一年做完項目以後，要算上每一個股東應還他多少錢，要算股息等等，真的像一個公司來運營，那時我們感覺真的特別有意思。而且我們做的項目當時也很有意思，這也間接地代表了美國學校的一種開放和包容。
當時學校把午餐的時間縮短，從1個小時縮到40分鐘，我們這些學生就覺得這很不好，我們要抗議。怎麼抗議呢？我們在這個創業活動中就做了一個T-shirt，T-shirt上畫了一個臘腸狗，畫得很長。這是一個不太激進的抗議，所有學生都非常想買這個T-shirt，我們印了很多很多，當年我們也成為了全州業績最好的一個公司，當然學校其實也非常包容我們的這種做法，並沒有打壓我們，允許我們把自己的聲音發出來，雖然最後午餐的時間還是沒有增加。
高中畢業之後我申請了很多大學，我的SAT考得不是很好，數學雖然考了800分，但是我的英文還沒考到600分。所以，在當時能夠進哥倫比亞已經算很不錯，我心中想進哈佛，但是分數還是不夠，因此進了哥倫比亞。
進哥倫比亞，我在那邊也學到很多事情。如果說學到最重要的一件事情，我認為應該是興趣，這是第五件我得到的美國留學禮物。
因為我進去的時候其實並不知道自己真正喜歡什麼，我專業的選擇選了雙主修，數學和法律。很奇怪的兩個主修，數學我覺得我是天才，法學我覺得看電視上那些律師都很酷，尤其當時美國有一個節目叫做《輪椅神探》，我就覺得這是我的偶像。其實就跟今天的中學生一樣，其實很迷惘，並不知道自己真正要什麼、職業是什麼，只是隨機選了兩個。
讀了一年多以後才發現，其實我數學又不是天才，而且我覺得不是天才的人讀數學沒有什麼意思。跟那些人上課，他們那一班都是天才班，一共有7個人，我是第七名，前六個人每天都告訴我數學多美，我就想不出什麼地方美，就做一些題目而已，覺得不適合數學。法律每次上課就想睡覺，也不適合學法律。那就糟了，幸好，當時學校是允許換主修的，而且學校鼓勵我們自己選修課程。所以，當時我很幸運地選修了電腦，我覺得這個才是我真正有興趣的事情。
學校有這種制度，讓我能夠改變我的主修，我真的非常感謝，還記得，我女兒去哥倫比亞讀書時，她跟我說，爸爸，有一個好消息，他們居然大三才要選主修，我說是啊，三十年前我去讀就是這樣，她說太好了，我從來沒想到有這種機會，她說我真的沒想好我要學時裝設計還是我要學經濟，還是我要學東亞文學。我說你就學兩年，兩年之後再決定。我真的非常感謝有這樣一個學校，有這樣一個寬容的環境，讓我在大三的時候做一個選擇，能夠追隨我的興趣。
我在哥倫比亞讀了四年，就到了另一個學校去讀電腦的PHD。在這裡我也得到了更多，可能更多像是臺灣留學生出去的體驗，當然我的英文可能更好一些。但是我還是在這裡看到了很多震撼，讓我對教育和留學能夠得到的是有了一個深的層次的理解。
第六個我得到的禮物就是平等，也就是老師跟同學之間是平等的，我當助教的時候有一個機會，給學生講課，當時我就覺得講得很好，因為我在很短的時間就讓這些學生學了很難的電腦技術，我覺得我是一個很好的工程師，我也是一個不錯的研究員，因此我肯定是很好的老師，但是很不幸的是學生繳回來的給老師的評語，讓我非常震驚，他們不但給我最低的分數，而且給我取了很多綽號，他們說開復的課叫做開復劇場，他一個人在上面演戲，我們全部都在下面睡覺，他們說開復來這兒，什麼目光接觸都沒有，每天眼睛只看著黑板，也不看著我們，我們在打瞌睡也不知道，他教的是最差的，沒有見過這麼差的老師。這種平等交流相當重要，我知道在很多學校都有學生評老師，但是往往都是很局限性的，而且學生可能不敢打分。在美國這樣的環境真的非常好，如果我還想做個老師，我需要一個當頭棒喝，我當時得到了棒喝之後，我也去好好地學怎麼樣做一個更好的老師。
第七，我學到的是研究的真諦。做一個科學家，讀一個博士，真正核心是什麼呢？我的博士導師讓我跟他談了30分鐘，在30分鐘裡我得到的今天的兩項禮物都是他給我的，他當時跟我說的第一件事情，我問他，我來這邊讀博士，你對我的期望是什麼？他說我對任何一個人來這個學校讀博士的期望就是你要成為你論文領域的世界的第一人，我說你開玩笑嗎？我一個學生怎麼能夠成為第一人。他說我不是讓你成為電腦這個領域的第一人，但是如果你的論文寫的像是連續性語音辨識，全世界應該不會比你更好，如果有的話，你就不是真的達到了我的期望。他說我認為每一個博士生都應該有這樣的抱負，要不然就不應該來讀博士。這句話對我有重大的影響，因為後來其實我做了一些專案，我覺得湊合可以畢業，可以拿到博士，但是我後來總是想到這句話，真的要做到在個狹窄的領域裡達到第一人才可以停止。
第八個禮物也來自於同樣跟他的對話，就是教育的真諦。我說好了，我盡力會做到一個狹窄領域世界的第一人。我又問他，我從卡內基•梅隆大學畢業以後，我所帶走的就應該是世界第一的論文，我要在這個論文上面再發揚光大，找一個工作，繼續把這個領域做得更好，是吧。他說不對，我認為你其實在讀博士的過程中，你帶走的東西是做研究的精神，這才是教育的真諦，知道怎麼去解決一個問題，我們要教會你如何獨立地知道如何去解決一個尚未被解決的問題。如果你學到了這一點，那麼我們的目的就達到了。我認為你畢業之後，很可能不會繼續做語音辨識，甚至不一定會做電腦科學，但是如果你以後在面臨一個尚未解決的問題，能夠自己獨立的思考、分析、客觀、理解不同的觀點，去解決這個問題，那麼你這個博士就是你可以終身擁有的、終身使用的，而且不僅僅是使用在你的這個領域。我後來讀了更多教育的書之後，我發現還有另外一句話跟他這句話是非常相似的，教育的真諦就是當你忘記一切所學到的東西之後，所剩下的就是教育。因為我們到底有多少人能夠背會全世界每一個國家的省會在什麼地方，我們多少人會背微積分公式，但是能夠讓我們獨立學習，這才是教育的真諦，而不是背會多少。
第九個禮物是我的博士生導師，是得過圖靈獎的一個世界性的導師，我決定跟他做語音辨識，他給了我一個題目，我跟他做了一年左右。做了一年以後，我發現他給我的題目很好，但是他給我的解決問題的建議是行不通的。在美國這個環境長大，也讓我有足夠的勇氣挑戰我的老師，這可能也是在這樣一個寬鬆的環境之下，讓我有勇氣說出。而且我不是直接挑戰他，我是跟他分析，我喜歡你的題目，但是我不喜歡你的方法，我想試著不同的方法，我鼓足勇氣跟他說，語音辨識我想做，但是專家系統方法讀不下去，我想用統計的方法做語音辨識的問題。當他分析了我為什麼想用這樣的方法之後，他說我不同意你，但是我支持你。
我記得法國的哲學家曾經說過，我不同意你的觀點，但是我用我的生命來捍衛你說這句話的權利。這是很了不起的一句話，但是我導師的話“我不同意你，但是我很支持你”，更了不起。我更多是告訴你，在科學的領域裡人人是平等的，你有權利有你的想法，我有權利有我的想法，我希望你用你的方法、你的熱情去解決你的問題，我不認為我有權利告訴你一個尚未解的問題一定要用什麼方法來解答。後來也有記者問他，當時李開復挑戰你的時候，你是怎麼想的，他的回答也很簡單，他說在科學的領域上人人是平等的。
我從他這句話裡面所學到的，遠不只是人人是平等的，我學到的更多的是，很多人認為他這句話可能只是一種胸懷，是一種接受別人的思維。其實不是，我在他的指導下畢業之後，20多年之後我來回顧，其實我從他那兒學到最重要的一件事情就是這句話，而這句話不僅僅是一種雅量，而是一種解決問題的態度，是一種做科學的態度，是一種做工程的態度。也就是說不只是一種雅量，而是一種很珍貴的領導力。如果你希望在一個公司，比如是在Google公司，對於最聰明的員工，你就要讓他們有足夠的空間，支持他們用他們的方法做事情。如果你什麼事情都要很獨裁地告訴他應該怎麼做，這些聰明人就沒有辦法發揮他們真正的潛力。所以，一個真正的研究院也好，科學部門也好，一個產品部門也好，如果你真的想要讓這批優秀的天才能夠發揮他們的潛力，那最好的管理方法就是去支持他們。
第十件我學的事情跟這個也是相當有關的，第十個禮物我認為就是，每一件事情我們不是只有一個角度來看這個問題，而是有很多角度來看這個問題。當時我的老師也跟我說得非常清楚，大家都是平等的，每一個人都有權利有自己意見。其實很多東方的教育碰到一個巨大的瓶頸就是認為每件事情是非黑即白，一個人要麼是好人，要麼是壞人，一個科學的問題要麼是這兒解答，不然就是這麼解答，沒有想到很多事情都有不同的方法來看問題。比如我們常常舉的一個例子，在很多高科技的公司面試的時候會遇到一些很奇怪的問題，像是下水道的蓋子為什麼是圓的，我知道很多人都聽過很多詞。但是問這個問題的目的其實並不是有一個標準答案，你答對就可以進來，答錯就不能進來。問這個問題的目的是看你的頭腦不要被局限在一個框框裡，能夠有不同思維的空間。如果你的思想，你想的東西是有道理的，比如圓的好在地上滾，或者是圓的不容易掉下來砸到別人的頭，或者圓是最小的面積，比較省錢，這些都是最好的答案。那些答不出來，在反思我高中的時候有沒有背過這個題目的人，這些人很不幸沒有被這樣一種開放式的教育來啟發，來釋放他的思維的空間。所以，在今天的21世紀裡面，能夠接受各種不同的思維的方式，能夠理解任何的問題，可以以不同的角度來看它，並不是有一個標準答案來定案，這不只是一個科學家的胸懷，而且是一個所有21世紀的人所需要學習的態度。
這十個是我今天認為在留學過程中得到最大的禮物。最後補充一下，並不是說今天不到美國就不可以得到這些東西，也不是說到了美國一定可以得到這些東西，因為東方的教育也在成長，美國的教育也各有不同，參差不齊，我是非常幸運從天主教的初中，到高中，到哥倫比亞，到卡內基•梅隆大學，碰到這麼多一流的學府，碰到這麼多一流的教師，但是今天我回頭想一下，如果真的問我剛才在文章開始的那個問題，如果我沒有留學，如果我一直留在臺灣或者是留在大陸，我有沒有可能得到這麼多禮物，成為今天我成為的人，我想我的答案一定是否定的。
（文字來自我演講後主辦方整理的文字版）
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【積分篇】
重點一：定積分直觀觀念 (https://youtu.be/gOuE68S3kXw)
重點二：奇偶函數的積分 (https://youtu.be/-UOnX6PWogc)
重點三：定積分正式定義 (https://youtu.be/9igA5vuk5Zc)
重點四：積分運算性質 (https://youtu.be/WOyCaUMVmbw)
重點五：微積分基本定理 I (https://youtu.be/T3o_OU2J9ss)
重點六：不定積分與反導函數 (https://youtu.be/fJhHZ9Hk1ec)
重點七：雙曲函數 (https://youtu.be/gfjGpy-pNIs)
重點八：積分表 (沒有講解影片)
重點九：四大積分基本方法之一：變數變換法 (https://youtu.be/trMid_t8_us)
重點十：四大積分基本方法之二：三角置換法 (https://youtu.be/VL--z89nYBs)
重點十一：四大積分基本方法之三：分部積分法 (https://youtu.be/VwUK8_JAuwk)
├ 精選範例 11-1 (https://youtu.be/SFss3hMzU4Q)
├ 精選範例 11-2 (https://youtu.be/uSnaHwtq28w)
├ 精選範例 11-3 (https://youtu.be/Mks1M_jh-jw)
├ 精選範例 11-4 (https://youtu.be/6Yc1UvkhcbM)
├ 精選範例 11-5 (https://youtu.be/cl6JvIhed-M)
├ 精選範例 11-6 👈 目前在這裡
├ 精選範例 11-7 (https://youtu.be/PXNL0piuUT0)
└ 精選範例 11-8 (https://youtu.be/eyj2AwQIKFI)
重點十二：積分表 (沒有講解影片)
重點十三：四大積分基本方法之四：部份分式法 (https://youtu.be/FDxrP8FT3yE)
【積分後篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhFI6OnDy0la5MqPOnWtoU7)
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聽說有人想入坑、回鍋
我們來給年輕的流亡者上一課...
沒，我覺得要消彌老手與新手間的落差
需要雙方都釋出一些善意
新手要試著歸納自己的問題再問
老手要避免直接跳過資訊的落差
人家就還沒學過四則運算
你就直接讓他背微積分公式?
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角色伸展台 : https://web.poe.garena.tw/account/view-profile/B012010005/characters
3.8推薦流派介紹 : https://www.youtube.com/watch?v=oTURasOgcqc&t=214s
3.8推薦流派清單 : https://www.youtube.com/watch?v=E8PugXHAN4M&list=PLtFbYRPBhJEzxO1XriQIYfr5Ol8mFD5vz
pob簡易使用介紹 : https://www.youtube.com/watch?v=AlDHn5a8Y-Y&t=6s
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本節以幾個不定積分練習為例，讓各位了解積分的意義。解題步驟如下：1.逐項考慮積分後的結果，2.加上常數 ... ... <看更多>
積分公式 在 [微積] 分部積分- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
題目：∫x*sin(x)*dx
= x*(-cosx)-∫(-cosx)*dx + c
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這裡已經 為什麼這裡
積分過一次了 還要再積分一次呢？
只是單純的分部積分公式使用方式，
還是有其它的定理存在呢？
麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！
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◆ From: 1.165.179.100
∫udv = uv - ∫vdu
講真的，我還真的看不懂這個公式。
u 為 ∫dv 的內容，為什麼又跑出一個uv出來？這個v又是什麼東西？
假若沒看例題，還是弄不懂這個v是什麼？
※ 編輯: nelsonchen 來自: 1.165.179.100 (05/30 18:49)
↑一般的微分公式
證明：
d[u(x)*v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)
移項
u(x)dv(x)=d[u(x)v(x)]-v(x)du
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跟分部積分公式 ∫udv = uv - ∫vdu 有啥關係？還真的看不出來！
∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du
簡化：
∫udv = uv - ∫vdu + c
還是不太懂................？
∫x*e^(x) dx
= x*e^(x) - ∫e^(x)dx + c
依照規則來看，第一個x不動，都只動第二個e^(x)
也就是說，碰到不同函數時，第一個函數通常不動，只動第二個函數。
第二函數要先積分，再扣除再次積分，就大致上等於部分積分的規則運算。
有點複雜，要搭配例子來看才看得懂，單純看公式，還真的看不懂。
※ 編輯: nelsonchen 來自: 1.165.179.100 (05/30 19:41)
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