【前景理論(Prospect Theory)】
為什麼人有了錢以後,就不敢冒險❓
負債累累的時候
卻越敢貸更多的錢來冒險⁉
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今天和大家分享在生活當中
常見的「前景理論」
和你一一解釋什麼是損失厭惡,確定效應
反射效應,以及降價敏感性
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前景理論(Prospect Theory)
是由諾貝爾獎得主
丹尼爾 卡尼曼(Daniel Kahneman)
和特韋斯基(Amos Tversky)
在1979年所提出的
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卡尼曼是一位心理學家👨
但卻取得了經濟學屆的諾貝爾獎🏆
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因為他在原有的傳統經濟學原理上
把心理學研究結合了在一起
並解釋了其無法解釋的現象
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在現代,
所有關於行為經濟學的著作
都繞不開這個理論
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🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀
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好了
現在就和大家做一個實驗來體驗前景理論
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❶損失厭惡(Risk Aversion)
我現在要和你玩一個拋硬幣的遊戲
如果你嬴的話
我就給你1000美金💰
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但如果你輸的話
你就要給我1000美金💰
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你會想要和我玩這一個遊戲嗎❓
相信大部分的人
都不會想要和我玩對吧? 😬
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不如我們改一下遊戲規則
現在,如果你贏的話
我就給你1100美金😬
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而如果妳輸掉的話
就只需要給我1000美金💎
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從預期價值的角度來看
這是一個完全對你有利的遊戲
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但如果我叫你現在馬上和我賭一把的話
你有很大可能還是不會想要和我對賭
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因為你知道
你有50%的幾率會輸掉這一筆錢💰
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這就是前景理論當中
第一個人類不理性的行為:損失厭惡
大多數人對損失比收益更為敏感🆘
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我必須要把收益提升到2000美金
才有人願意和我打這一個賭
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許多營銷場景也經常看到這種現象
「趕快下單,
今天過後你就會失去這一個優惠了‼」
「首30名報名講座者免費入場‼」
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「沒購買這份保單,
痛苦的是就是你的家人」等等
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許多商家都會利用損失厭惡,
調動你害怕失去的情緒和心理
來推動交易💹
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損失厭惡除了可以應用在銷售上
也可以用它來說服自己
或是其他人來改掉壞習慣💢
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比如說你想要說服自己的哥哥戒煙
你會怎麼做呢?
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會告訴他如果戒煙的話
就可以改善口腔問題、
牙齒會變白👄
更有機會交到女朋友👩❤️👨
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還是你會告訴他
如果不戒煙的話,
會導致癌症❓
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🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀
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❷確定效應(Certainty effect)
現在我就來進入第二個人類不理性的行為:
確定效應「(Certainty effect)」
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在「確定的好處」和「賭一把」
之間做一個抉擇⛔
多數人會選擇確定的好處
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用一個詞形容詞來說就是「見好就收」
用一句話打比方就是
「二鳥在林,不如一鳥在手」
正所謂「落袋為安」👛
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再讓大家做一個這樣的測試:
A.你一定能賺30000元💷
B.你有80%可能賺40000元,
20%可能性什麼都得不到💸
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面對這樣的抉擇,
你會選擇A還是B呢?
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相信大部分的人都會選擇A對吧😉
但其實選項B才是收益最大化的選項
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因為40000×80%=32000
期望值要大於A的30000倍
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大多數人處於收益狀態時,
往往小心翼翼、厭惡風險、喜歡見好就收
害怕失去已有的利潤💎
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卡尼曼和特韋斯基
稱這種現象為「確定效應」
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即處於收益狀態時
大部分人都是風險厭惡者
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投資時,
多數人的表現是「賠則拖,贏必走」
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這樣的心態更容易陷入沈默成本的深淵中
在股票市場中💹
普遍就有這種「賣出效應」⚠
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也就是投資者賣出獲利的股票的意向
要遠遠大於賣出虧損股票的意向
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這與「對則持,錯即改」
的投資核心理念背道而馳
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🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀
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❸ 反射效應
在面對兩種損害
你是會選擇躲避,還是勇往直前呢❓
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在確定的壞處(損失)
和「賭一把」之間做一個抉擇
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多數人會選擇「賭一把」❗
這叫「反射效應」 (reflection effect)
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當一個人在面對兩種都損失的抉擇時
就會激起他的冒險精神🔥
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讓我們再做一個實驗:
A. 你一定會賠30000元。
B. 你有80%可能賠40000元,
20%可能不賠錢
你會選擇A還是B呢❓
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投票結果是
只有少數人情願「花錢消災」選擇A
而大部分人願意和命運賭一把,選擇B
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現實也是這樣
多數人處於虧損狀態時📉
會極不甘心😡
寧願承受更大的風險來賭一把
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也就是說,處於損失預期時
大多數人都會變得甘願冒風險
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卡尼曼和特韋斯基
稱這種現象為「反射效應」
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這就是解釋了
許多所謂的「成功大師」
喜歡述說自己如何從負債累累欠了幾百萬
再借更多的錢到轉虧為盈的原因💡
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但其實當你負債一大筆數目時
你我都會更願意冒險
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🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀
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前景理論還有另外一個原理:
參照依賴(reference dependence)
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假設你在尋找一個新的烤麵包機🍞
進到商店後
你發現這間商品的價格為35美元💵
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這時有人告訴你另一家同名的連鎖店
有辦促銷活動✨
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可以以30%的折扣
既25美元就買到相同的烤麵包機
而這家店離此處還有20分鐘的車程🚗
但可以確定的是那邊是一定會有貨的
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這時,你會選擇在第一家購買
還是會開車到第二家店
購買這個烤麵包機呢❓
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如果你和大多數人一樣,
相信也會願意到第二家店去購買🙋♀️
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畢竟,
如此短距離的車程就能省去30%的成本
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不過
讓我們再來考慮一個類似的例子
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假如現在你準備買一台新的電視機
在某個店鋪里
你看到了自己心儀已久的電視牌子
發現它的標價是1650美元💸
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這時又有任何告訴你
另一家分店只賣1640美元
同樣是距離20分鐘的車程🚕
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在這種形勢下,你會怎麼選擇呢?
你會願意為了一台電視機📺
花20分鐘的時間開車🚗
去節省10美元嗎❓
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假如你和大多數人一樣,
這一次
你很可能就不會跑去第二家店購買了
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為什麼同樣是節省10美元
在購買麵包機和電視機上
會有不一樣的結果呢❓
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這是因為參照依賴反映了這樣的思想
即相同的價格變化
在更大的價格參照上有更小的影響
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所以說,降價要有驚喜🌟
無論你是賣什麼產品的
我們都可以運用100法則🔧
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降價促銷的顯示一般有兩種:
價格顯示,或是折扣顯示
降了多少錢,或是折了多少巴仙
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假設有一件25美元的襯衫👚
打完8折後
顧客可以享受5美元的優惠🎉
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那麼20%的折價
或是5美元的讓利
哪一種顯示更吸引消費者呢❓
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假設一台2000美元的筆記本電腦
降價200美元 💻
相等於折價了10%
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以上哪一種折扣顯示
會讓這筆交易顯得更划算呢❓
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25美元的一件襯衫👕
20%的減價折扣也只有5美元
所以以20%的比例折扣顯示更為妥當
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而像筆記本電腦、 珠寶等貴重商品
應該採用相反的價格顯示策略
利用Absolute value(絕對折扣價值)
來顯示更加吸引消費者🛒
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筆記本電腦降價200美元
會比起折價10%更加來得吸引人🎀
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🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀
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我們可以把100美元作為臨界點
當你的商品價格低於100美元時
「100法則」會提醒你用比例折扣的方式
來顯示價格優惠會更打動人
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像是30美元的Tshirt
或者15美元的開胃菜,
僅僅3美元的折扣實在是太不起眼了
.
相比之下🎏
若顧客看到該商品有10%或20%的折扣
即使是同樣的優惠程度
也會看起來更有吸引力‼
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假如商品的價格超過了100美元💵
我們應該用絕對的金額折扣顯示價格優惠
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就像有一個價值750美元的度假配套🏖
或一台2000美元的筆記本電腦💻
僅僅10%的折扣就會顯得非常吝嗇
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但如果把優惠的形式用絕對金額轉化一下
用75美元或是200美元的優惠🎊
就顯得更有吸引力了‼
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人的理性是有限的🧠
人們在做決策時
並不是去計算一個物品的真正價值💝
而是用某種比較容易評價的線索來判斷
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就像剛才的降價例子一樣,
顯示的數字大小影響了我們的判斷
而不是物品的真正價值✨
.
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🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀🍀
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這就是今天好葉和大家分享前進理論的
④條原理以及①⓪⓪法則的運用
我們來回顧一下:
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❶損失厭惡,
我們對損失和獲得的敏感程度是不同的
損失的痛苦要遠遠大於獲得的快樂
❷確定效應
當我們在面臨獲得時
往往小心翼翼,不會願意去冒險
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❸反射效應
面對損失時
人人都變成了冒險家
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❹參考依賴
人們看的不是最終的結果
而是以容易可得的參考來判斷
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❺ 100法則
昂貴產品顯示折扣金額
低價產品顯示折價百分比
更能夠調動人們的認知感官
同時也有2部Youtube影片,追蹤數超過7萬的網紅Ryan Wu,也在其Youtube影片中提到,德州撲克真的是一個靠技巧的遊戲嗎? 撲克是一個做決定的遊戲,長期下來,誰能累積比較多好的決定,誰就會是贏家。 生活也是一樣,每天我們都面臨著各種大大小小的決定。 每個決定的背後,都代表著對人生的某種引響。職業賭徒知道,持續追尋高期望值的選項,長期而言定能帶來勝利。 但人生有這麼簡單嗎? 在...
期望值 生活 應用 在 媽媽監督核電廠聯盟 Facebook 的最佳解答
何時應該換手機?以氣候變遷效應觀點分析 - 生命週期碳足跡應用在生活上的個案分享(10/19/2020 媽媽監督核電廠聯盟)
作者:Tony Yen /德國弗萊堡大學再生能源工程與管理碩士、媽媽監督核電廠聯盟特約撰述
最近我手機的螢幕故障,因此面臨了是否修復舊手機還是購買新手機的決策命題。「除了財務上哪種選項划算之外,更換手機的氣候效應會是甚麼?」也是我進行決策時被納入考慮的因素之一。底下這篇文章就來分享整個決策的過程和結果;本文使用的參數都是我實際上決策時曾使用到的數值。
財務觀點分析此問題
應不應該換手機這個問題的傳統財務觀點分析如下。假設一支新手機的價格為C_new元,可以使用T_new年,則其均化成本LC_new為C_new * x^T_new / (1 + x + … + x^(T_new-1)),其中x為適當的資本成本參數(以個人來說應該是自己資產的投資報酬率期望值加1)。
另一方面,假設修復舊手機要花C_repair元,並且可以使用T_repair年,則該時刻手機價格現值為C_new / x^T_repair。
因此,在接下來T_new + T_repair年內,直接買新手機的總成本現值為LC_new * (1 + x + … + x^(T_new + T_repair) - 1),先修復手機再更換的總成本現值則為C_repair + LC_new * (1 + x + … + x^(T_new-1)) / x^T_repair。前者減去後者的趨避成本只要小於0,就應該更換手機。
(注:理論上不論新舊手機,衡量時皆要考慮過程額外的修復成本期望值,但這裡為了簡化計算暫略。)
本文的圖片是設定C_new = 12300元、x = 1.05/年、C_repair = 2600元的條件下,不同(T_new, T_repair)組合下的前述的差值函數。額外地,不同(T_new, T_repair)組合發生的情況可視為一機率函數,因此可以求出換手機與否的趨避成本期望值。
可以從圖中看出,只要預估舊手機維修後還能運作超過半年以上,基本上就不應更換手機。
氣候觀點分析此問題
假設我們用氣候觀點看待此問題,卻意外地會得出截然不同的結論。
手機大部分的生命週期碳排來自製程、運送和回收,大約佔了85%;剩下的15%才是使用階段的碳排。假設手機零件的製程碳足跡和其零件成本成正比,可以推估舊手機故障零件的製程、運送、回收碳排佔整支手機生命週期的18%。因此,舊手機為了續用T_repair年而更換新零件的生命週期額外碳排會是原來手機整體生命週期碳排的18% * T_new / T_repair。另一方面,新手機的製程、運送和回收碳排攤提在T_repair年則為原來手機整體生命週期碳排的85% * T_repair / T_new。前者減去後者的淨增碳排只要大於0,就應該更換手機。
在這樣的條件底下,如果預計新手機可以使用4年,則舊手機維修後,至少要再良好運作1.68年,才能真正減少這段期間兩支手機的淨氣候效應。考慮使用階段碳排上,老舊手機的能源效率可能比新機種差的情況,就更不應該買新零件讓舊手機延命。
碳排組成影響不同產品的氣候導向決策
從前面的分析可以知道,一種產品生命週期碳排的組成,會很大程度氣候導向決策的性質。比如,如果今天是考慮舊建物部分翻修或拆掉重新設計節能建物的話,最重要的衡量標準反而就會是使用階段碳排了。
回到手機和其他性質類似的3C產品,從本文分享的簡易計算,我們可以得到一個通用的原則:如果像我一樣3C產品平均使用年限都較長、而產品在瀕臨設計年限故障必須更換零件時,買新產品就可能是對環境比較友善的決策;但如果是在平均使用年限的一半左右就故障時,更換零件可能就是比較合理的選擇。
至於平均使用年限較短的使用者,如果要改善自己3C產品使用習慣的氣候效應,嘗試一些手段增加平均使用年限可能是最有效的做法。
當然,消費者自行計算自己消費行為的氣候效應,只能算是增進氣候意識的一種環境教育手段,對於整體氣候政策的走向並不會起到決定性作用。只有聯合眾人,根本性地要求科技大廠和其上下游產業鏈逐步落實100%綠能和碳中和等承諾,才是讓這個產業能逐步達成永續的治本之道。
完整圖文內容請見:
https://www.facebook.com/momlovestaiwan/photos/a.214032908732304/1978360165632894/?type=3&theater
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AI加持的物聯網:實現你對未來生活的一切幻想
2020年05月13日16:21 電子產品世界
人工智能和物聯網密不可分。人工智能的整個想法是從物聯網設備捕獲更多可行的數據,就像我們自己的人類意識一樣,人工智能可以依靠與人類相似的感覺來將他們的思維過程與我們的物理世界聯繫起來。
準確地說,人工智能更多是關於使機器具有智能行為,物聯網的功能是使這些機器連接起來。
物聯網幫助AI感知世界
物聯網提供了對傳感器的便捷訪問,從而使AI感知到世界—— 紅外“眼睛”使AI可以“看到”熱量變化,以及標準的對象檢測、計數和分類;超聲波“聽覺”,可以訪問超出人類頻譜的頻率範圍;加速度計可捕捉“觸覺”運動,其細節要比我們自己的指尖好得多;顆粒和化學傳感器提供了靈敏的“鼻子”。在許多不同的地方,獲得比我們人類更多的感覺輸入。
通過物聯網捕獲數據的能力在過去五年中爆炸性的大規模發展,傳感器現已應用於幾乎所有領域,這表明可以從每個事物或流程中實時收集無限多個數據。物聯網設備是製造環境以及客戶服務部門中數據收集過程的第一線,任何具有芯片組的設備都可以連接到網絡並開始24/7流數據傳輸。
AI增強了這些物聯網驅動的感覺輸入的感知和意義。物聯網有效地測量並指示物理數據屬性,而AI是使您能夠感知物理數據代表什麼的大腦。
低成本分佈式、計算功能(雲)的廣泛可用性、開源軟件的發展、機器學習的進步以及移動驅動的先進微電子(ARM)功能的出現,為最終連接提供了許多點,使AI成為現實。
隨著廉價傳感器和低成本網絡連接的出現,物聯網設備的數量正在激增。根據Gartner的調查,到2020年,全球將有超過200億台互聯設備。物聯網設備的持續激增導致需要存儲和保留的數據激增,但物聯網領域的進步仍然受到可計算數據的速度和效率以及價值提取的約束。企業被這些設備產生的海量數據所淹沒,他們希望人工智能來幫助管理這些設備,並從這些大量的數據中獲得更多的見地和智慧。
有趣的是,當前人工智能技術的興起可能為當今數字世界所面臨的數據氾濫提供了解決方法。隨著這兩個領域的迅速創新發生,我們可以從它們的融合道路中期待什麼?
AI幫助物聯網實現想像
2016年7月,軟銀斥資243億英鎊收購了微芯片巨頭ARM。軟銀總裁孫正義認為,物聯網將引領下一輪技術爆炸,他指出:“物聯網與人工智能之間的關係就像眼睛和大腦使生物進化的關係。物聯網正在爆炸”。
從1956年人工智能學科被正式提出至今,人工智能的技術一直在不斷發展,但直到近幾年物聯網產業逐步走向成熟後,人工智能的發展才迎來了又一次發展的春天。如今,利用AI來幫助進行實時分析的互聯設備已經面世,並且廣泛採用的趨勢正在上升。例如Nest等智能恆溫器,它們利用AI來學習用戶的溫度偏好並相應地調整能源使用。
另外,通過顯式編程編寫算法的傳統方法太耗時且容易出錯,以至於許多物聯網設備都無法理解。為了有效地分析IoT數據,企業正在轉向基於機器學習的AI來尋找模式和相關性,以實現IoT的承諾。
在企業部門中,AI已經通過幫助實時決策制定了標誌。AI的功能對於企業同時有效處理與這些組件相關的事務(時間、金錢和風險)特別有價值。這可以包括銷售預測,信息管理和各種形式的自動化。
調查顯示,近一半(49%)的受訪者已經在他們的物聯網應用中使用人工智能。物聯網和AI方向的機會繼續增長。現在,業界將這種融合稱為“ AIoT”。最後一次如此大的融合發生在1990年代後期,手機和互聯網的碰撞改變了人類歷史的進程,人工智能與物聯網的融合將帶來更大範圍的類似革命。
硬件製造商和解決方案提供商已經在全力以赴,以利用這種技術融合併在不斷發展的工業環境中處於有利地位。諸如亞馬遜之類的創新公司正在為員工提供即將過時的工作職能方面的培訓和再教育機會,這種技術的融合正在推向市場。
實際意義上來說,AI在某種程度上可以幫助物聯網出現的突發情況進行迅速應對,這才是當今互聯網時代的智能優勢。我們可以看到在許多問題出現的時候,解決方案也相應出現,這些解決方案的計算能力也將隨著人類的需求的改變而進行延伸和發展。
人工智能在發展的早期,由於數據量少、運算速度跟不上等原因,一直發展比較緩慢。但近二年隨著物聯網的發展,促進了大數據和雲計算技術的發展,雲計算和大數據技術的進步,又使物聯網產生的大量數據的存儲和計算沒有了後顧之憂,而AI技術可以使這些數據發揮更大的作用。
物聯網、大數據、雲計算的發展為AI的發展提供了豐富的數據,而AI的發展也使得物聯網時代變得更加智慧。但是,對AI和IoT的全面優化還相距遙遠,在解決問題和信息可以改善所有利益相關者成果的情況下,這兩種技術現在正在跨行業組合。
隨著物聯網、人工智能的相互促進和滲透,各個行業也發生了一些變化,智能製造、智慧城市、智慧交通、智慧工廠、智能家居等大批“智能化”的新業態不斷出現。
揭秘AI和物聯網的力量
你對AI和物聯網如何統治科技世界有了解嗎?以下是一些重要的統計數據:
· Gartner表示,到2022年,將有80%的企業物聯網項目將AI作為主要組成部分。
· 41%的消費者認為人工智能將改善他們的生活。
· 每秒有127個IoT設備連接到互聯網。
· Statista報告稱,到2025年,預計全球將有440億個IoT設備。
物聯網和人工智能的結合正在改變許多行業以及企業與客戶之間的關係。企業現在可以通過物聯網收集數據並將其轉化為有用和有價值的信息。
當今企業在人工智能和物聯網方面面臨的共同挑戰是物聯網數據的應用、可訪問性和分析。如果您有來自各種來源的數據池,您可以使用這些數據進行一些統計分析。但是,如果你想在預測未來事件中採取積極主動的行動,一個企業需要學習如何辨別這種數據和分析過程。
企業正在以多種不同的方式實施支持人工智能的物聯網系統:有關解決方案公司開始提供打包好的代碼和模板,其中包括針對特定應用領域(如航運和物流、製造、能源、環境、建築和設施運營)的測試模型;其他公司正在創建客戶解決方案,構建和培訓自己的模型,利用雲供應商的外部CPU能力。
隨著消費者、企業和政府開始在各種環境中部署物聯網,我們的世界將發生巨大變化。它已經迅速地改變了從零售到供應鏈再到醫療保健的一切。
人工智能驅動的物聯網對各個行業的影響:
· 智能建築:智能傳感器通過預防火災、洪水或短路等事故來預測事件並提高安全性。
· 智能家居:智能家居的出現旨在為我們的生活提供一個機會,讓我們的設備無論在哪裡都能被控制。在美國,智能家居市場預計到2021年將覆蓋28%的家庭。
· 航空飛機:傳感器已經在飛機上被用來監測和預防各種錯誤和風險,甚至在它們發生之前。
· 石油勘探:這種類型的機器在無法正常工作時會給公司造成巨大損失,大多數石油工業公司傾向於在石油鑽探機械上投入大量資金。得益於物聯網,智能傳感器現在可以很容易地連接到機器上。這樣做意味著提供預防性維護分析,從而降低運營成本。
· 自動駕駛:自動駕駛系統結合了專用硬件,可以實現GPS、聲納、攝像機和前視雷達,從而可以充分利用數據並將其耦合到神經網絡體系結構中。這就像一個自封閉系統,可以從傳感器收集信息,並進一步使用神經網絡模型來確定汽車運動的下一個變化。
· 健康監測系統:構建醫療設備來監測、診斷身體狀況。用傳感器收集信息,AI來預測身體狀況。
· 智能電網:利用物聯網設備和傳感器網格的優勢,它們可以在系統中收集和傳輸數據,從而可以自動調節電流。可以實時將問題通知遠程管理器,如果有問題可以立即採取行動。
· 供應鏈:解決運營物流網絡的複雜性,正確實施AI可以幫助公司做出更明智、更迅速的決策。通過預測期望值,他們可以調整貨物數量並將貨物調配到預計最大需求的位置,降低運營成本。
· 智能倉庫:智能倉庫是完全自動化的設施,其中大部分工作是通過自動化或軟件來完成的。在此過程中繁瑣的任務得以簡化,操作變得更具成本效益。阿里巴巴和亞馬遜已經通過使用自動化改造了他們的倉庫。亞馬遜最近推出了自動裝箱客戶訂單的機器。在亞馬遜倉庫中,機器人與人類並肩工作以提高生產力和效率。
物聯網設備的普及正使未來成為一個緊密相連、即時獲取信息的世界。現在需要人工智能來管理所有這些設備,並理解這些設備返回的數據。從某種程度上講,人工智能和物聯網是互利共生的,並將繼續保持相互交織的關係向前發展。
資料來源:https://tech.sina.com.cn/roll/2020-05-13/doc-iirczymk1423034.shtml
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德州撲克真的是一個靠技巧的遊戲嗎?
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計?
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆,便可以簡單運算?
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利,你要靠EV;而EV的計算,則涉及賠率(Odds)和機率(Probability)。一般賭局,賭率無論是固定,抑或不固定,都必定會顯示(例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等);然而,勝負機率卻永遠隱藏。
計算機率可以非常複雜,看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的,相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單,有些連小學作業都有教。
為什麼又可以簡單?又可以複雜呢?這要由「機率是什麼」說起。
首先,機率就像重量、長度、價錢等,是一個量度值。當你想知道自己的體重,你會站在電子磅;當你想知道自己的身高,你會用尺量度;當你想知過大海船票幾貴,你會查一查價錢;而當你想知道一件事情發生的可能性,你便要計算機率。
那麼,有什麼事你會想知它的可能性呢?擲一粒骰「擲到七點」的可能性,你會想計算嗎?不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼,擲骰擲到整數的可能性,你又會想計算嗎?不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見,當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時,你不會問可能性。換言之,當你不肯定某事情是YES還是NO時,你才會想窺探可能性。
最家傳戶曉的例子,非擲毫莫屬:究竟下一回是公定字呢?
雖然機率是數學之中的一個範疇,但機率在語言之中也佔了一席位,縱使未曾學過機率,都會以「五十五十」來描述擲毫的結果,即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十(50%)。
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通,因為一整份是100%,各分一半自然是各佔50%,亦是兩份之中取一份,二份之一也。
分數概念對機率非常便利,將虛無飄渺的機率圖像化,轉化成「切蛋糕」的情況--由於你深信擲公和字的可能性均等,公和字就像一對雙胞胎,要吃相同份量的蛋糕,身為父母你便得把蛋糕一分為二,一份給公,一份給字,二份之一也。
此平平無奇的「二份之一」概念,更足以延伸至更多情況:
擲一粒骰子,擲得一點的機率是多少?
由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同,它們就像六胞胎平分生日蛋糕,你把蛋糕一分為六,一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率,六份之一是也。
只要看得穿多少胞胎在分蛋糕,便能運算出機率。
雖然擲毫的機率十分顯淺,顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣,然而,由擲毫和擲骰引起的誤解,同時惹來不少人放棄了機率,甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是:
「擲公字的機率是二份之一,那麼,要是第一局己擲到了一次公,下一局將必定擲到字嗎?」
當然不是!否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎?這是天方夜譚吧。再者,若「必定」梅花間竹地出現,機率該是100%,這一點也抵觸了「二份之一」的說法。
「既然二份之一的機率,並不代表能夠預測下一局,對賭客來說又有什麼意思?」
答案很簡單,就是用來計算EV,預知定然的長遠結果。
明白了機率的意思和功用之後,接下來正式講解機率的3大運算方法:
1. 窮舉法(Exhaustive Method):一次隨機事件
先前提過,基本的機率運算,是平均分蛋糕的遊戲。由此可見,「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好,這種「有幾」的問題,都只是嬰孩學「數手指」(即數數目)可以應付的問題。
由擲公字的例子起步,全部的情況有「公」和「字」,我們就這樣數:
「公……第一個;字……第二個。總共兩個。」
即問題涉及雙胞胎,將蛋糕分成兩份。
如想知擲得「公」的機率,我們又再數過:
「公……第一個。總共一個。」
可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份,二份之一也。
擲骰子亦同樣,這樣數全部的情況:
「一點……第一個;兩點……第兩個;三點……第三個;四點……第四個;五點……第五個;六點……第六個。總共六個。」
即問題涉及六胞胎,將蛋糕分成六份。
如想知擲得「雙數」(即2、4、6)的機率,我們又再數過:
「兩點……第一個;四點……第二個;六點……第三個。總共三個。」
可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份,六份之三也。
兩題的答案,分別是「二份之一」( )和「六份之三」( ),究竟誰大誰小呢?欲比較分數,可以先將它化簡,繼續直接觀察,或者相減或相除。然而,分數的觸覺並非人皆有之,曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此,我建議採取較「平易近人」的百份率(%),換算方法是--將分子除以分母,再乘以100,便是百份之多少,即多少%了。
機率(%)=分子÷分母×100
以上述的結果為例,先把1除2,再乘以100,得出50,即擲得公的機率為 50%;把3除以6,再乘以100,得出50,即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色,「一樣那麼可能」。
由這兩個例子得知:只要能夠準確細數可能發生的情況(我稱之為懂得數手指)便能夠計算基本的機率了。
當然,懂得數手指並不等如一定數得清,當數量太多的時候,例如打麻雀(144隻牌)一起手便食糊(又稱食天糊)的機率,逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人,的確能夠把所有可能性徹底列出,但整個過程也拖太久了吧?
因此,數數目亦應該要有聰明的方法。
2. 列表法(Tabulation):兩次隨機事件
以擲骰子為例,擲一粒骰當然能夠「數手指」,因為只得6面。可是,如果擲兩粒骰呢?總有多少個可能的結果?
「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個;第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性,最終便會得知,總共有36個可能發生的結果。
列出來當然可以,但無可否認實在太煩了,而煩,亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢?
日常生活中,有一種表達方法,很值得參考,就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹,因此會是兩個馬匹號碼互相配搭,例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」,情形就像2粒骰的點數,「一點」加「六點」。
由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下:
每一格分別代表一個情況,例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點,綠色的骰子三點」。 由此可見,擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之,將蛋糕切成36份。
如問擲得總點數為10的機率,使用「馬經作圖法」答案一目了然:
非常明顯,共有3個格子,是兩骰點數相加為十(分別是(4,6)、(5,5)和(6,4))因此這三十六胞胎,現在有三胞胎說要吃蛋糕了,在「36份之」中吃了「3」份,答案是「36份之3」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
值得留意的是,這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方:
試想想,現有6張卡,分別畫了骰子的6面,現在你隨機抽取兩張,請問2張卡的點數相加為十的機率是多少?
很多人會照舊作答「36份之3」,原因是問題只是將骰子變成卡片,情況不甚改變,而且,使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表:
可惜這是錯的,答案錯,列表也是錯的,錯在算少了一著:擲骰子可以擲到相同數字,例如2粒骰都是一點,但抽卡並不能抽到相同數字呢!卡片只得1張,你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此,列表應修正如下:
灰色代表根本不可能發生的情況,即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表,蛋糕應平分為30份,而不是36份。符合相加為十的結果,亦不是3個,而是2個,因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此,修正後的答案為「30份之2」( )。(試利用公式把它轉成%吧!)
3. 樹狀圖(Tree Diagram):兩次或以上隨機事件
雖然列表可以將可能性整齊地列出來,但列表也有它的局限之處,就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件,則要靠樹狀圖了。
以擲毫為例,如連擲三枚硬幣,擲得至少一次公的話,你便可以獲得8000元,這個遊戲值得花5000元去玩嗎?
首先,你得知道勝出這賭局的機率,即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件,因此無法使用列表法,非用樹狀圖不可:
樹狀圖就像旅行路線圖,每一條路都是一個行程,每一個行程就是每一個可能性,不妨逐個寫出來看看:
由圖所示,這年遊戲總共有8個結局,而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金,由此使用「分蛋糕」概念,你勝出遊戲的機率是8份之7,換算成百分率,即87.5%。
賠率則這樣計算:以5000元當作1注,如得勝則淨贏3000元,即贏3000÷5000注,又即0.6注。因此,你若參與這個賭局,你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%,是一個正數。長賭下去,你將會獲取40%的純利,當然值得參與賭局。
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A ── 會考 Math 數學
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5** ── DSE Math 數學
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