本週的播放清單如下
週一：向量函數的積分
週二：曲面分析與面積分
週三：旋轉體分析
週四：三變數函數的積分
週五：向量函數的極限、連續與微分
以下是可以許願的清單
記得只能許願某個重點，不能直接許一整章
若是有人許過你想許的主題
可到 YT 許願
youtube.com/post/UgxOAnbloHj78w6vjI14AaABCQ
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【積分(前篇)】
重點一 定積分直觀觀念
重點二 奇偶函數的積分
重點三 定積分正式定義
重點四 積分運算性質
重點五 微積分基本定理 I - 先微再積型
重點六 不定積分與反導數
重點七 雙曲函數
重點八 微分表II
重點九 四大積分基本方法之一：變數變換法
重點十 四大積分基本方法之二：三角置換法
重點十一 四大積分基本方法之三：分部積分法
重點十二 積分表
重點十三 四大積分基本方法之四：部分分式法
【積分(後篇)】
重點一 進階積分技巧：高次倍角三角函數積分
重點二 特殊積分形式之其一：含絕對值的積分
重點三 特殊積分形式之其二：含無窮的積分 (瑕積分)
重點四 微積分基本定理 II - 先積再微型
重點五 旋轉體積分
【數列與級數】
重點一 數列與數列的極限
重點二 數列極限的運算性質
重點三 數列連續化求極限法
重點四 夾擠定理
重點五 單調數列與有界數列
重點六 級數
重點七 級數的運算性質
重點八 級數審斂法一：等比級數
重點九 級數審斂法二：p-級數
重點十 級數審斂法三：比較審斂法
重點十一 級數審斂法四：極限比較審斂法
重點十二 級數審斂法五：比值審斂法
重點十三 級數審斂法六：根值審斂法
重點十四 級數審斂法七：積分審斂法
重點十五 級數審斂法八：交錯級數審斂法
重點十六 絕對收斂和條件收斂
重點十七 冪級數
重點十八 冪級數的運算
重點十九 泰勒級數與泰勒定理
【多變數函數的微積分】
重點一 多變數函數
重點二 二變數函數的極限
重點三 二變數函數極限特殊求法
重點四 二變數函數極限運算定理
重點五 二變數函數的連續
重點六 二變數函數的偏微分
重點七 高階偏微分
重點八 偏微分運算律
重點九 多變數函數的微分量 (全微分)
重點十 方向導數
重點十一 梯度與等高線
重點十二 等值面與切平面
重點十三 相對極值、絕對極值和鞍點
重點十四 拉格朗日乘數法
重點十五 二變數函數的積分：二重積分
重點十六 二重積分的極座標轉換
重點十七 二重積分的應用
重點十八 三變數函數的積分：三重積分
重點十九 柱座標與球座標
重點二十 三重積分的應用
【向量微積分】
重點一 向量函數的定義
重點二 向量函數的極限、連續與微分
重點三 向量函數的積分
重點四 曲線分析
重點五 旋轉體分析
重點六 向量場與保守場
重點七 線積分
重點八 微積分基本定理 for 線積分
重點九 格林定理
重點十 梯度、旋度、散度
重點十一 曲面
重點十二 曲面分析與面積分
重點十三 散度定理
重點十四 史托克定理
以上就是能許願的清單
統計到本周六晚上 10 點
結果會在本周日晚上公告
然後下周一至五晚上 6 點在我頻道限時首播
泰勒級數 在 Re: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿- 看板Math 的推薦與評價
※ 引述《sparta40 (該死的斯巴達)》之銘言：
: 感覺這兩個級數非常相似
: 所以想了解一下他們的關係
: 可不可以請大大稍微解惑，或是講講古@@
: PS：我實在搞不懂創造 這兩個級數 有什麼好處
多項式是一個很棒的函數
好處之一是它可以微分無限多次
這種函數應該發予良民證 實在太棒了
不過就這點而言還不夠特別
指數函數、三角函數也都可以發予良民證
多項式還有一個好處是比較好代值
13 8 5
譬如說 P(x)＝ x ＋4x －3x ＋ x － 2
如果我們要算 P(3.01)
很煩 但起碼能算
但像是sin1
就不會算那麼久 因為根本不會
所以就有個想法
當我遇到一個函數的時候
我可不可以寫出一個多項式 是跟它很接近的呢?
或者至少 在我要算的點附近是很接近的
譬如說剛剛的sin1 如果我的多項式只能在 [0,2] 很接近 sinx 那也夠用了
待我寫出來以後
那麼 在這所謂的"附近" 裡面
就可以把我原來想對那個函數所做的一些事情 改對這個多項式做
舉凡 代入、加減乘除、次方、微分、積分
所以當然 這個"附近" 便越大越好
在這"附近"裡頭 我們說這個多項式收斂到那個函數
那麼 到底要怎麼在a點的附近 用多項式p(x)逼近一個函數f(x)呢 ?
首先 當然最好能 f(a) ＝ p(a)
再來 如果f可以微分的話, f'(a) ＝ p'(a) 就更好了 更逼近
.
.
.
(n) (n)
得寸近尺 只要f可以微分n次 我也希望 f (a) ＝ p (a)
按照這個想法, 就可以寫出
(n)
f"(a) 2 f (a) n
f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋...
2! n!
你可以等號兩邊代a 看是否相等
微分一次以後代a 看是否相等
微分n次以後代a 看是否相等
於是你便可以知道 為什麼泰勒級數長這個樣子
用這個就可以很輕易寫出
x 1 2 1 n
e ＝ 1 ＋ x ＋ ─ x ＋ ... ＋ ─ x ＋ ...
2! n!
1 3
sinx ＝ x － ─ x ＋ ...
3!
1 2
cosx ＝ 1 － ─ x ＋ ...
2!
而這三個函數的泰勒級數 收斂區間都是整個實數
x
我們知道 e 微分以後會等於自己
我們現在把它的泰勒級數微分看看
1微分以後是0 x微分以後是1 .... 後面每一項微分都變前一項
但它有無窮多項
所以真的等於自己
你還可以再檢查
sinx的泰勒級數 微分之後就變成cosx的泰勒級數
cosx的泰勒級數 微分之後就變成sinx的泰勒級數整個多負號
不過
(n)
f"(a) 2 f (a) n
f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋...
2! n!
告訴你的
只不過是一般性的做法
一般而言 只要f可以微分n次 我就可以照著操做寫出一個n次多項式來逼近
卻不代表
(1) 寫出來的東西會有足夠大的區間
有可能寫出來卻發現只在一個點逼近
(2) 只能這樣寫
事實上我們還是可以根據不同的函數 用不同的方法寫出多項式出來
Brook Taylor提出他的理論是1715年的事情
然而十七世紀那些微積分先鋒們
-1
就已經寫出 sinx cosx tanx 等等函數的多項式展開
各自用了些奇奇怪怪的辦法
不過 我們不需要會一些奇招怪技
只需要會一些很基本的辦法
1
譬如說 ── , 除了用那個一般性做法
1－x
2 n
也可以直接寫出 1＋x ＋x ＋ ... ＋x ＋ ....
為什麼呢? 因為那就是無窮等比級數的和呀
從此還得知了 收斂區間就是 (-1,1)
1
那麼 ─── 呢 ?
1＋2x
1
把它看成 ──── 就可以了 也就是說 用-2x代在x
1－(-2x)
2
所以就是 1＋(-2x)＋(-2x) ＋ ...
㏑(1＋x) 呢 ?
1
它就是 ─── 的積分嘛
1＋x
2 3
所以先寫出 1－x ＋x －x ＋ ....
2
x
然後積分出 c＋x －─＋ ...
2
因為㏑(1＋0) ＝ c＋0＋0＋.... 可以得知c＝0
2
x
所以就寫出 ㏑(1＋x) ＝ x －─＋ ...
2
那如果是sinxcosx 呢 ?
可以各自展開以後再相乘
sin(2x)
也可以看成 ──── 所以從sinx的展開代2x 再整個一半
2
-1 1
tan(x) 呢 ? 它的微分是 ─── 嘛
1＋x^2
再舉個例子
tanx－sinx
lim ──────
x→0 x^3
一個方法是乖乖地羅必達三次
但我們也可以寫出它們的泰勒展開 變成
3 3
x x
(x＋─＋ ...) － (x－─＋... )
3 3!
lim ─────────────── 不必展太多項
x→0 x^3
1 1 1
馬上就看出答案是 ─ ＋ ─ ＝ ─
3 6 2
大概是這樣
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※ 編輯: PaulErdos 來自: 140.112.233.127 (12/26 00:34)
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