【為什麼學微積分要先學極限？】
.
微積分是一門關於微分與積分的學問，微分是探究瞬間變化程度的學問，積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率（瞬時速度），那就需要微分；又例如計算一區域在地圖上的面積，那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動，又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形，那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積；但是，一般而言，運動物體不會是等速度運動，而地圖上的區域大多是不規則的，因此，微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
.
不過，既然是要學「微分」和「積分」，那關「極限」什麼事呢？是這樣的，在有微積分以前，人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度，也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題，我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索，看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
.
就瞬時速度而言，我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度，也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想，一個正在用不規律速度行駛的車子，他前進的速度本來就會有時快、有時慢，那麼，我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢？如果這個量值越大，就代表速度越快，反之代表速度越慢？這乍聽下來好像可行，但在還沒有微積分的時代裡，若再進一步細想下去，就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度，就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置；然而，瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說，實作上在求瞬時速度的時候，會遇到一個難題，那就是只有一個時間的位置，所以無法求速度。
.
為了解決這個問題，我們退而求其次地，在所關心的時間點以外，物體運動的時間範圍內，離所關心的時間點附近再取一個時間點，然後用這兩個時間點的速度，來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字，顯而易見地，就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度，因為只要多取出來的時間點不一樣，就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用，而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡，我們必須引進一個新的概念，那就是「極限」。
.
既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度，那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢？這是一個相當好的想法，雖然可能還有很多細節需要處理，但基本上這個逼近的動作，已經解決了算瞬時速度的問題，這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣，都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣（當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的，而這部分確實後來的數學家有順利解決，我們在此暫不討論，也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章）。
.
因此，後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度，而這個方案裡面的計算方式，在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後，就發展成了日後我們講的微分，而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念，其動作最後也就是我們講的「取極限」，所以為什麼在學微分之前要先學極限？因為微分這個動作，其本質就是取極限的過程。
.
積分也有類似的過程，為了算不規則的區域面積，我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形（邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點），然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積；但很顯而易見地，這些矩形面積和並非原本要求的區域面積，所以我們就把這些矩形分割得越來越細，只要這些矩形能夠分割得越細，他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近，姑且不論其實作的細節，這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程，也用到了「極限」的概念。
.
所以如果你打開微積分的課本，卻在一開始看見要學一整章的「極限」時，請不要意外，因為學數學就像蓋一棟樓一樣，你或許期待微積分這棟樓能建得高大，但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基，而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好，後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
.
而要學習極限，雖然有一段路要走，但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片，如果想從零開始學習微積分的話，可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起，我把這部影片的連結貼在下面留言處。
.
這系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
.
感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！
hackmd 超連結 在 Fw: [徵才] HackMD 招募全端工程師- 看板Soft_Job - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
※ [本文轉錄自 Tech_Job 看板 #1WyM2eaE ]
作者: dolinian (杜麗娘) 看板: Tech_Job
標題: [徵才] HackMD 招募 全端工程師
時間: Fri Jul 16 18:34:14 2021
[公司名稱]
HackMD 嗨筆記股份有限公司
[公司網址]
https://hackmd.io/
[公司地址]
104 台北市中山區南京東路二段 41 巷 16 弄 4 號 3 樓
松江南京站，走路 10 分鐘，公園旁邊，鬧中取靜
[公司簡介]
＊本篇徵才文由 Meet.jobs 徵才平台所發布，
應徵請點擊下方連結進入 Meet.jobs 平台投遞履歷。＊
HackMD 是一個即時協作的線上工具，
廣泛受到來自全世界軟體開發者的愛用。
我們的願景是：用簡潔的方式讓人們緊密的合作與溝通。
我們的目標是讓使用者可以直擊重點，將時間與精神花在真正重要的事。
我們是一個高效能的小型團隊，從成立第一天就放眼全球市場，
歡迎你加入我們一起改變人們工作的方式。
[職位及待遇]
1. 全端工程師 月薪 60k - 80k 台幣
[工作內容 / 應徵條件]
Must have
‧至少 1 年以上工作經驗
‧對生產力工具與開發者社群有興趣
‧熟悉現代網頁開發技術 (HTML 5, ES 6, CSS 3)
‧熟悉 jQuery
‧使用過 TypeScript
‧熟悉 React, Bootstrap 等框架
‧使用過 Webpack
‧使用過 Node.js 與 Express
‧熟悉 RESTful API 設計原則
‧對 OWASP 資安有基本概念
‧使用 Git 做版本管理
‧使用英文寫程式碼註解與 commit message
‧能與 UI/UX 設計師溝通
‧能夠直接閱讀、使用、修改開源套件
‧理解 Promise / async / await 之 callback 機制
‧願意學習任何技術與框架
‧遵循團隊學習程式碼風格
‧不需支援 IE 瀏覽器
Nice to have
‧熟悉 OOP
‧熟悉 Design Pattern
‧熟悉 網頁載入最佳化
‧熟悉 網頁渲染最佳化
‧熟悉 事件流處理
‧使用過 PostgreSQL 或是 MySQL
‧使用過 Socket.IO 框架 / 使用過 websocket 技術
‧自行編寫字串處理與語法解析器
‧自行編寫 markdown-it / marked 語法解析器的擴充
‧自行編寫網頁的文字編輯器
‧理解 Micro Frontend 架構
‧有個人專案並開源在 GitHub 上
[工作時間]
符合台灣的勞動法規
[應徵方式]
直接於網站投遞履歷，企業將於第一時間回覆。
https://bit.ly/3xB74HW
[其他資訊]
==
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 150.117.45.73 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Tech_Job/M.1626431656.A.90E.html
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 轉錄者: sayakaa (150.116.73.108 臺灣), 07/20/2021 07:42:56
... <看更多>